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1. 공감하기
오늘은 수익률의 함정, 산술평균과 기하평균 그리고 변동성 첫 번째 글입니다.
우리는 가끔 주식투자 홍보글에서 이런 유형의 글을 보게됩니다. 2020년에는 수익률이 100%이고, 2021년에는 수익률이 -50%를 기록하여 2년동안 펀드의 수익률이 25%다라는 식의 문구가 그 예입니다.
과연 그들이 말하는 25%라는 수익률은 타당한 수익률인지 확인해보겠습니다. ( 100 -50 ) / 2 = 25%라는 계산이 나오는 군요 산술평균으로 계산한 값이라는 의미입니다.
그럼 이 계산이 맞는지 펀드 자산의 변화를 추적해보겠습니다. 우선 이 펀드의 기준이 되는 즉 시작 자산을 1억으로 가정하고 계산해 보겠습니다. 2020년에 수익률이 100%이므로 자산이 1억에서 2억으로 두 배가 되었습니다.
2021년에는 자산이 2억인 상태에서 수익률이 -50%이므로 2억 – 2억 X 0.5 = 1억 즉, 2억에서 다시 1억으로 돌아왔습니다. 그럼 2020년에 1억으로 투자를 시작한 펀드의 자산이 2021년에 투자를 완료한 시점에 1억이므로 자산의 변동이 없습니다. 즉 수익이 없다는 이야기입니다.
그래서 수익률은 25%가 아니라 0%가 되는 것입니다. 그런데도 수익률이 25%라는 잘못된 정보를 홍보하며 가입자를 모집하는 것입니다. 기하평균을 이해하면 이러한 착시현상을 피할 수 있을 것입니다.
2. 산술평균
먼저 산술평균에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 산술평균은 주로 성적의 평균, 키나 몸무게 등의 일반적인 평균 값을 의미합니다.
트레이딩의 관점에서 보면 한 번에 여러 종목에 동시에 진입했을 때의 기대수익률을 의미합니다. 즉, 연속되는 트레이딩이 아니라 동시에 진행하는 트레이딩을 의미한다는 것입니다. 이 경우는 시간적인 연속성이 반영되지 않은 결과라고 할 수 있습니다.
산술평균은 다음과 같이 계산됩니다.
실생활에서 평균이라고 말하면 보통 산술 평균을 의미합니다. 산술 평균은 데이터 값들을 모두 합한 후에 데이터의 갯수로 나눈 값입니다. 데이터 값들의 대표값을 산출할 때 주로 사용하는 방법입니다.
이 방법은 데이터 분포가 종 모양으로 중앙 근처에 많이 분포하고 양끝단에서 작아지는 유형에 적합합니다. 이 경우 평균값은 중앙 근처에 위치하는 값으로 나오게 됩니다.
2. 기하평균
다음은 기하평균입니다. 인구증가율, 물가상승율, 경제성장률, 투자수익률등과 같이 연속적인 변화율 기반으로 특정 구간내의 평균 변화율을 구할 때 사용하는 것이 기하평균입니다. 여기서 중요한 개념은 연속적이다라는 것입니다.
이 기하평균은 연속적인 변화율에 대한 데이터 값들을 모두 곱한 후에 데이터의 갯수로 제곱근을 취한 값입니다. 기하평균은 시간적인 연속성의 개념이 녹아있어 순차적으로 연속하는 투자의 평균 수익률을 계산에 적합합니다.
3. 수익률의 함정
기하평균은 연속적인 변화율들의 평균값을 구할 때 사용한다고 했습니다. 달러 환율을 예로 들어 살펴보도록 하겠습니다.
달러 환율의 시작값을 1,000원으로 설정하고 첫 해에 환율이 30% 증가하고,두 번째해에는 20% 증가하고 새 번째해에는 15% 감소했다고 가정해보겠습니다.
이것은 지난 3년동안 환율의 변화를 나타낸 값입니다. 우리는 이 변화율에 대한 평균을 알고자 합니다. 이렇게 연속된 변화율에 대한 평균은 기하평균을 통해서 구해야 합니다.
첫 해 변화율이 30%이므로 기준이 되는 환율은 1.30배가 되고 두 번째 해의 변화율이 20%이므로 기준이 되는 환율은 1.20배다 됩니다. 마지막으로 세 번째 헤의 변화율 -15%이므로 기준이 되는 환율은 0.85배가 됩니다.
우리는 이값들을 모두 곱한뒤 3의 제곱근으로 기하평균을 구할 수 있습니다.
(1.30 x 1.20 x 0.85 )의 3제곱근을 구하면 1.0986이 됩니다. 3년동안 평균 9.86%씩 증가한 것입니다. 산술평균으로 구하면 어떤 결과가 나올까요? ( 1.30 + 1.20 +0.85 ) / 3 = 1.1166이 나옵니다.
여기에서 한 가지 중요한 특징을 소개해드리면 기하평균은 산술평균보다 클 수 없다는 것입니다. 이것은 기하평균의 최대값은 산술평균이라는 의미이기도 합니다.
4. 산술평균과 기하평균의 특징
1). 산술평균은 중심값 또는 대표값을 구할 때 사용
평균 점수, 평균 소득, 평균 수명과 같이 우리에게 익숙한 평균입니다. 또한 산술평균은 시간의 동시성을 내포하는 결과값의 평균을 의미합니다. 트레이딩 관점에서 보면 동시에 여러 종목에 투자하고 일정기간이 지난 후의 기대수익률을 의미하기도 합니다.
2). 기하평균은 변화율의 평균을 구할 때 사용
투자 알고리즘의 성과를 평가하려면 기하평균을 사용해야 합니다. 시간의 연속성을 내포하는 변화율의 평균을 의미입니다. 트레이딩 관점에서 보면 투자를 연속적으로 반복하고 일정기간이 지난 후의 기대수익률을 의미하기도 합니다.
3). 산술평균과 기하평균의 관계
다음은산술평균과 기하평균의 관계에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 우리의 사고방식은 산술평균에 많이 치우쳐 있습니다.
산술적 관점과 기하적 관점의 차이를 보여주는 예를 들어 보겠습니다. A는 월수입이 백만원인 사람이 보너스를 백만원 받은 경우이고 B는 월수입이 천만원인 사람이 보너스를 백만원 받은 경우입니다. 어느쪽이 보너스를 많이 받은 것일까요? 산술적으로는 동일한 백만원입니다.
하지만 기하학적인 관점에서는 10배의 차이가 납니다. A의 경우는 월수입의 100%에 해당하는 금액이지만 B.의 경우는 월수입의 10%에 해당하는 금액이기 때문입니다.
투자수익률 관점으로 예를 바꿔보겠습니다. A는 자산규모 10억원으로 한해에 10억원의 수익을 낸 경우이고 B는 자산규모 100억원으로 한해에 10억원의 수익을 낸 경우입니다. 산술적으로는 동일한 금액을 벌어들였지만 기하학적으로는 10배의 차이가 납니다. 같은 액수의 수익을 얻은 경우 운용자산이 많은 사람의 수익률이 더 낮은 것과 마찬가지입니다.
5. 기하평균과 변동성
다음은 기하평균과 변동성에 대해서 알아보도록 하겠습니다. 투자 수익률을 예로 생각해보겠습니다. 지난 1년간 투자 결과 월평균 수익률이 5%라 하겠습니다. 1년 평균 수익률은 얼마일까요? 월평균 수익률이 5%이니 1년 수익률은 5%에 12를 곱한 60%라고 생각하셨나요?. 이것은 초보적인 오답입니다.
평균 수익률 5%라는 것이 매월 일정하게 5%씩 낸 것이라면 1년 수익률은 대략 80%가 됩니다. 이것은 월 5%의 복리로 1년 동안 예금한 결과와 같습니다. 투자원금을 10,000,000원으로 가정하고 계산하면 그림과 같습니다.
그렇지만 투자에서 이런 고른 수익을 내는 것은 불가능합니다. 어떻게든 들쑥날쑥하게 되어 있습니다. 한 달은 20%, 한 달은 -10% 정도의 기복을 갖고 있다면 그림과 같이 월평균 수익률은 5%지만 1년 수익률은 59%가 됩니다.
한 달은 60%, 한 달은 -50% 정도라면 월평균은 5%인데 그림과 같이 1년 수익률은 -74%로 원금의 4분의 3을 날리게 됩니다. 여기서 월평균 수익률 5%라는 것은 산술평균입니다. 이것으로는 최종 잔고를 알 수가 없습니다. 같은 5%라도 이를 만드는 수치들이 들쑥날쑥할수록 수익률은 떨어집니다.
이것은 매월 복리로 11%씩 손해를 보는 것과 같습니다. 산술평균은 모두 더한 값을 총수로 나눈 것이고, 기하평균은 모두 곱한 값을 총수만큼 제곱근 씌우는 것입니다. 산술평균을 만든 값들이 모두 같을 때 기하평균은 산술평균과 일치합니다.
이것이 기하평균의 상한선입니다. 수익률이 들쑥날쑥할수록 산술평균에서 멀어집니다. 이런 수리적 구조로 인해 큰 수익과 큰 손실을 반복하면 결국은 쪽박을 찹니다. 이것은 변동성에 의한 손실이 작용하기 때문입니다.
몇 번의 성공을 거두고 나면 트레이더는 낙관적 정신 상태가 되어 대담해집니다. 결국 한두 번의 큰 실패로 파산하곤 합니다.
